Вы задумывались над числом «Ноль» или «Нуль» — чётное оно или нечётное, ведь оно выбивается из ряда других чисел. Многие думают, что ноль не относится ни к чётным и ни к нечётным числам. Так какое это число?
Почему ноль является чётным[править | править код]
Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2, следовательно, ноль является чётным[1].
Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.
Простые объяснения[править | править код]
Слева изображены группы с 0, 2 и 4 белыми объектами по парам; справа с 1, 3 и 5 объектами, где объект без пары обозначен красным. Область с 0 объектами не содержит красных объектов
[2]
.
Ноль — это число, а числа используются для счёта. Если существует множество объектов, то числа используют, чтобы описать, сколько их. Ноль — это мера в случае, когда нет ни одного объекта; в более формальном смысле, это количество объектов в пустом множестве. Используя понятие чётности, создадим группы по паре объектов. Если объекты множества можно разделить и маркировать по парам без остатка, тогда количество объектов чётное. Если существует объект, не вошедший в группы, тогда количество объектов является нечётным. Пустое множество содержит 0 пар объектов и не имеет никакого остатка от такой группировки, поэтому ноль является чётным[3].
Все эти доводы можно проиллюстрировать, нарисовав объекты по парам. Трудно изобразить нулевые пары или показать отсутствие нечётного остатка, поэтому удобным будет нарисовать другие группы и сравнить их с нулём. Например, в группе из пяти объектов существуют две пары. Кроме того, в ней есть объект, который не относится ни к одной паре — поэтому число 5 является нечётным. В группе из четырёх объектов нет объектов, которые остались, только две пары, поэтому 4 является чётным. В группе только с одним объектом нет пар и есть один остаток, поэтому 1 является нечётным. В группе с нулём объектов нет пар и нет остатка, поэтому 0 является чётным[4][5].
Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси. Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:
Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль[6].
С помощью операции умножения чётность можно определить более формальным образом, используя арифметические выражения. Для каждого целого числа будет актуальна одна из форм: (2 × N) + 0 или (2 × N) + 1. Первое выражение соответствует чётным числам, а второе нечётным. Например, 1 является нечётным, поскольку 1 = (2 × 0) + 1, а 0 будет чётным, так как 0 = (2 × 0) + 0. Если такие выражения записать в таблицу по порядку, снова получим закономерность как на числовой оси[7].
0 является самым чётным числом
Первый способ определения чётности ноля
0/2=0 — остатка нет, значит о является чётным числом.
Второй способ определения чётности ноля
Чётные и нечётные числа чередуются между собой вот например нечётные 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11 и т.д., а вот чётные 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д.
Таким же образом можно создать цикл и в обратную(отрицательную) сторону вот например нечётные -1, -3, -5, -7, -8, -9, -11 и т.д., а вот чётные -2, -4, -6, -8, -10, -12 и т.д.
В итоге получается если 1 — нечётное, то 0 — чётное число!
Сколько чётных и нечётных чисел между…
Сколько чётных и нечётных чисел от
до
?
Четные и нечетные числа: что, как, зачем, почему
Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.
Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.
Четное число — это целое число, которое делится на 2.
Целые числа — это натуральные числа, нуль, а также числа, противоположные натуральным.
4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.
Нечетное число — это целое число, которое не делится на 2.
5 : 2 = 2,5
Это значит, что 5 — нечетное число, так как в результате деления не получается целое число.
|
Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное. Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное. Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т.д. — четные числа. |
Свойства четных и нечетных чисел
- если сложить два четных числа, получится четное число
8 + 8 = 16
16 : 2 = 8 - если сложить два нечетных числа, получится четное число
3 + 3 = 6
6 : 2 = 3 - если сложить четное число с нечетным, получится нечетное число
4 + 5 = 9
9 : 2 = 4,5 - если четное число умножить на четное число, получится четное число
2 * 2 = 4
4 : 2 = 2 - если четное число умножить на нечетное число, получится четное число
4 * 3 = 12
12 : 6 = 2 - если нечетное число умножить на нечетное, получится нечетное.
3 * 3 = 9
Четные и нечетные числа чередуются друг с другом
1 — нечетное
2 — четное
3 — нечетное
4 — четное
5 — нечетное
6 — четное
7 — нечетное
8 — четное
9 — нечетное
Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.
| 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81 | 91 |
| 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 | 82 | 92 |
| 3 | 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 | 73 | 83 | 93 |
| 4 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | 94 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
| 6 | 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 | 76 | 86 | 96 |
| 7 | 17 | 27 | 37 | 47 | 57 | 67 | 77 | 87 | 97 |
| 8 | 18 | 28 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 | 98 |
| 9 | 19 | 29 | 39 | 49 | 59 | 69 | 79 | 89 | 99 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Чтобы быстро разобраться в теме, послушайте песню-считалочку про четность и нечетность.
Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах.
|
Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четные и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.
Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?
| 1 | ♥ | 17 |
| 2 | 10 | ♥ |
| ♥ | 11 | 19 |
| 4 | ♥ | 20 |
| 5 | 13 | ♥ |
| ♥ | 14 | 22 |
| 7 | 15 | 23 |
| 8 | ♥ | ♥ |
Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа.
| X | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| X * 2 | |||||
| X : 2 |
| X | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| X * 2 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| X : 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Как решаем:
2 * 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 * 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 * 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 * 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 * 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное
Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?
Как решаем:
всего 44 конфеты — 15 — 12 = 17 (конфет).
17 — нечетное.
Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом.
Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у маши изначально было фотографий?
Как решаем:
Всего 51 фотография — 5 = 46.
46 — четное.
Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.
Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.
| 1 | ☆ | 3 | ☆ | 5 |
| 6 | ☆ | ☆ | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | ☆ | 15 |
| 16 | ☆ | ☆ | 19 | 20 |
| ☆ | 22 | 23 | ☆ | 25 |
Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Как решаем:
Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70
Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
126 : 2 = 63
Ответ: 126 — четное.
Тебе стоит повторить тему — знаки больше, меньше или равно!
Научиться быстро считать ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.
Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.
Математический контекст[править | править код]
Чётные (синие) — подмножество Z
Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию, означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса[8][9].
Признак чётности
Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.
В образовании[править | править код]
Результат опроса школьников 1-6 классов в Великобритании
[10]
Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов[11].
Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?»[12].
Теория
Чётное ли число
Чётным является целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело).
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 или 8 являются чётными числами:
10 , 12, 134, 2786, 6389246858 и др.
Примеры
Чётное ли число 10?
10 ÷ 2 = 5
Десять разделилось на два без остатка, следовательно, 10 является чётным числом.
Чётное ли число 1?
1 ÷ 2 = 0.5
После деления единицы на два мы получает нецелое число, следовательно, 1 не является чётным числом.
Чётность нуля
Чётное ли число 0?
Ноль (0) является чётным числом.
Ноль чётное число, так как оно делится на два без остатка: 0 ÷ 2 = 0
В числовом ряду с обоих сторон от чётного числа стоят нечётные числа, и ноль тут не исключение, так как -1 это нечётное число:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Нечётные числа
Нечетным является целое число, которое не делится на 2 без остатка.
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 1,3,5,7 или 9 являются нечётными числами:
11 , 113, 1245, 43547, 63563469 и др.
Пример
Для примера рассмотрим число 67. Так как оно заканчивается цифрой 7 (нечётной) уже можно утверждать, что оно нечётное. Для пущей уверенности разделим 67 на два:
67 ÷ 2 = 33.5, то есть 33 и остаток 1 (67 = 33 ⋅ 2 + 1)
Окончательно делаем вывод, что число
67 является нечётным
числом.
Сколько чётных и нечётных чисел в ряду
Сколько чётных и нечётных чисел находится в ряду между n и m?
Если n и m разные по чётности
Если n и m разные по чётности числа, то есть одно из них четное, а второе нечётное, то количество чётных и нечётных чисел в ряду одинаковое:
Кол чёт/нечёт = (m — n +1) ÷ 2, m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 22 и m = 31:
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Так как 22 и 31 являются числами разной чётности делаем вывод, что чётных и нечётных чисел в данном ряду поровну:
Кол чёт/нечёт = (31 — 22 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5
5 чётных и 5 нечётных
| 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | |||||
| 23 | 25 | 27 | 29 | 31 |
Если n и m чётные
Если n и m чётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно больше чем нечётных:
Кол чёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n
Кол нечёт = (m — n) ÷ 2 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 10 и m = 20:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Кол чёт = (20 — 10) ÷ 2 + 1 = 6
Кол нечёт = (20 — 10) ÷ 2 = 5
6 чётных и 5 нечётных
| 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
Если n и m нечётные
Если n и m нечётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно меньше чем нечётных:
Кол чёт = (m — n) ÷ 2 , m > n
Кол нечёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 11 и m = 19:
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Кол чёт = (19 — 11) ÷ 2 = 4
Кол нечёт = (19 — 11) ÷ 2 + 1 = 5
4 чётных и 5 нечётных
| 12 | 14 | 16 | 18 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
Примечания[править | править код]
- ↑ Penner, 1999, p. 34 Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd . Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier, to state the proof: «To see that 0 is even, we must prove that ∃k (0 = 2 k ) and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0.»
- ↑ Compare Lichtenberg, 1972, p. 535 Fig. 1
- ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «… numbers answer the question How many ? for the set of objects … zero is the number property of the empty set … If the elements of each set are marked off in groups of two … then the number of that set is an even number.»
- ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»
- ↑ Dickerson & Pitman, 2012, p. 191
- ↑ Lichtenberg, 1972, p. 537; compare her Fig. 3. «If the even numbers are identified in some special way … there is no reason at all to omit zero from the pattern.»
- ↑ Lichtenberg, 1972, pp. 537—538 «At a more advanced level … numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers … zero fits nicely into this pattern.»
- ↑ Devlin, 1985, pp. 30–33
- ↑ Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, pp. 376–377
- ↑ Frobisher, 1999, p. 41
- ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007, pp. 83–95
- ↑ See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, and summary by Nuerk, Iversen & Willmes, 2004, p. 837.
Практика
- Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.
- В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с нагрузкой 1 раз в 2 недели.
- Четность/нечетность чисел широко применяется на железнодорожном транспорте:
- При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть четным или нечетным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например поезд «Россия» при следовании из Владивостока в Москву имеет номер 001, а из Москвы во Владивосток — 002;
- Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления «По третьему пути пройдет нечётный поезд»);
- С чётными и нечётными числами месяца увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечетных чисел для равномерного распределения вагонов между конечными станциями поезда могут назначаться с отступлением от графика (в этом случае следующий поезд идет не через день, а через два дня или на следующий день);
- Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: чётные — верхние, нечётные — нижние.
История и культура
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»[1].
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.
Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье.
В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.
Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.